確率解析(連続確率過程)を勉強していると序盤の設定のところでシリンダー集合(柱状集合)が突然現れ,離散確率過程とのギャップにモヤモヤすることがあったので,シリンダー集合について調べることにしました.

{displaystyle [0,1] } 上の連続関数の集合 {displaystyle mathcal{S}=C([0,1]) } を考え,距離 {displaystyle d(f,g)=sup_{t in [0,1]} |f(t)-g(t)|} を導入します.すると {displaystyle (mathcal{S},d)} は完備可分な距離空間となります.

シリンダー集合(cylinder set / cylindrical subset)とは以下のような形の集合のことです.
{displaystyle { f in mathcal{S}:(f(t_1),cdots,f(t_n))in B_1 	imes cdots 	imes B_n } }
{displaystyle  B_i in mathcal{B}(mathbb{R}),; i in { 1,cdots,n }, ; 1 le n lt infty, ; 0 lt t_1 lt cdots lt t_n le 1, ; t_0=0}

すなわち,{displaystyle mathcal{S} } の要素の中で,(有限個の)各時点における値が実数上のボレル集合体 {displaystyle mathcal{B}(mathbb{R}) } の要素となる関数の集合を意味しています.じつはこのシリンダー集合により生成される {displaystyle sigma} -加法族は, {displaystyle mathcal{S} } 上のボレル集合体 {displaystyle mathcal{B}(mathcal{C}) } なのです(参考記事)!その証明を以下に示します.

証明.
{displaystyle pi_t(f)=f(t) } となるような写像(natural projection) {displaystyle pi_t : mathcal{S} 	o mathbb{R} } を導入する.以下の形の集合からなる集合族 {displaystyle mathcal{C} } を考える(先ほどのシリンダー集合です).
{displaystyle { f in mathcal{S}:(f(t_1),cdots,f(t_n))in B_1 	imes cdots 	imes B_n } = igcap_{i=1}^n pi_{t_i}^{-1}(B_i)}
{displaystyle  B_i in mathcal{B}(mathbb{R}),; i in { 1,cdots,n }, ; 1 le n lt infty, ; 0 lt t_1 lt cdots lt t_n le 1, ; t_0=0}

はじめに {displaystyle sigma(mathcal{C}) subset mathcal{B}(mathcal{S}) } を示す.{displaystyle t in [ 0,1 ], ; (a,b) subset mathbb{R} } ならば {displaystyle  pi_{t_i}^{-1}  ( mbox{} ( a,b ) mbox{} ) = { f in mathcal{S}:f(t) in (a,b) } }{displaystyle mathcal{S} } 上の開集合であるので {displaystyle  pi_{t}^{-1}(B) in mathcal{B}(mathcal{S}) ; {
m for ; all} ; t in [ 0,1 ],; B in mathcal{B}(mathbb{R}) } である.{displaystyle mathcal{C} } の要素はそのような集合の有限加算共通部分であるので,{displaystyle mathcal{C} subset mathcal{B}(mathcal{S})  } である.よって {displaystyle sigma(mathcal{C}) subset mathcal{B}(mathcal{S}) } を得る.

つぎに {displaystyle mathcal{B}(mathcal{S}) subset sigma(mathcal{C}) } を示す.{displaystyle mathcal{S} } の可分性と過去記事の補題1.1より,{displaystyle mathcal{S} } 上の任意の開球が {displaystyle sigma(mathcal{C}) } の要素であることを示せばよい.{displaystyle mathcal{S} } 上の任意の開球 {displaystyle B(f,epsilon) } は以下で表される.
{displaystyle B(f,epsilon)= igcup_{n in mathbb{N}} igcap_{t in mathbb{Q} cap [ 0,1 ]} pi_t^{-1}(mbox{}( f(t)-(1-2^{-n})epsilon,; f(t)+(1-2^{-n})epsilon)mbox{}) }
このように表現できる理由を以下に示す.全ての {displaystyle t in mathbb{Q} cap [ 0,1 ] } について {displaystyle |f(t)-g(t)| lt (1-2^{-n})epsilon } となるような {displaystyle n in mathbb{N} } が存在するならば,{displaystyle f,g } の連続性と {displaystyle mathbb{Q} cap [ 0,1 ] } の稠密性より {displaystyle d(f,g) = sup_{t in mathbb{Q} cap [0,1]} |f(t)-g(t)| lt (1-2^{-n})epsilon lt epsilon, } すなわち {displaystyle g in B(f,epsilon) } が成り立つ.逆に,{displaystyle g in B(f,epsilon) } が成り立つならば,すなわち {displaystyle d(f,g) lt (1-2^{-n})epsilon } となるような {displaystyle n in mathbb{N} } が存在するならば,全ての {displaystyle t in mathbb{Q} cap [ 0,1 ] } について {displaystyle |f(t)-g(t)| lt (1-2^{-n})epsilon } が成り立つ.
したがって,{displaystyle B(f,epsilon) }{displaystyle mathcal{C} } の要素の加算共通部分の加算和で表されるので  {displaystyle B(f,epsilon) in sigma(mathcal{C}) } を得る.(証明終わり)


以上,シリンダー集合について考えてみました.シリンダー集合の定義と存在意義がすこし明らかになってきたと思います.



参考文献
[1] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[2] Mathematics Stack Exchange http://math.stackexchange.com/questions/1236489/generating-the-borel-sigma-algebra-on-c0-1